📘 Équations dans ℝ

1. Définition d’une équation

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues.

Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.

Exemple : 2x + 5 = 11

2. Vocabulaire

- Inconnue : la lettre (souvent ) que l’on cherche.

- Membre de gauche : ce qui est à gauche du signe “=”.

- Membre de droite : ce qui est à droite. du signe “=”.

- Solution : valeur de l’inconnue qui vérifie l’équation.

3. Règles essentielles pour résoudre une équation

3.1. Règle d’équilibre

On peut :

- Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres.

- Multiplier ou diviser par un même nombre non nul.

3.2. But

Le but est d'isoler l’inconnue.

4. Types d’équations courantes

4.1. Équations du 1er degré à une inconnue

Forme générale : ax + b = c

Méthode :

1. On regroupe les termes inconnus d’un côté.

2. Les nombres de l’autre côté de l'égalité.

3. On divise pour trouver l'inconnu .

Exemple :

3x - 4 = 8

Étapes :

1. On regroupe : 3x = 8+4 (ici, quand un nombre traverse l'égalité, il change de signe de l'autre côté de l'égalité)

2. On fait les calculs : 3x = 12

Diviser par 3 pour trouver la valeur x; x = 4

4.2. Équations produits

(ax+b)(cx+d) = 0

(ax+b) = 0 ou (cx+d) = 0

Exemple : Résoudre dans IR, l'équation : x(3 - x) = 0

Solutions :

x(3 - x) = 0 --> x=0 ou 3 - x = 0

---> x=0 ou -x=-3

---> x=0 ou x=3

S={0;3}

4.3. Équations avec parenthèses

On développe, puis on résout comme une équation simple.

Exemple :

2(x + 5) = 18

Développement : 2x + 10 = 18

Puis : 2x = 8 ---> x = 4

S={4}

4.4. Équations fractionnaires simples

On élimine les fractions en multipliant par le dénominateur.

Exemple :

(x + 3)/2 = 5

Multiplier par 2 : x + 3 = 10

x = 7 S={7}

5. Méthode générale

Pour résoudre n’importe quelle équation simple :

1. Simplifier (enlever parenthèses, réduire).

2. Regrouper les termes en .

3. Isoler .

4. Vérifier la solution si nécessaire.

📚 EXERCICES D’APPLICATION

🔹 Exercice 1

Résoudre l'équation 4x - 7 =21

Correction

Ajouter 7 : 4x = 21 + 7

Diviser par 4 : x = 7

🔹 Exercice 2

3(x - 2) = 12

Correction

Développer : 3x - 6 = 12

Ajouter 6 : 3x = 12 + 6

Diviser par 3 : x = 6

🔹 Exercice 3

(2x - 4)/3= 5

Correction

Multiplier par 3 : 2x - 4 = 15

Ajouter 4 : 2x = 15 + 4

Diviser par 2 : x = 9,5

🔹 Exercice 4

Résoudre l’équation produit :

(x - 4)(x + 1) = 0

Correction

L’un des deux facteurs doit être 0 : x - 4 = 0 ou x + 1 = 0

x = 0 + 4 ou x = 0 - 1

x = 4 ou x = -1

🔹 EXERCICE DE CONSOLIDATION

Résoudre les équations suivant :

1). 5 - 2x = 1 Solution : S={2}

2). 7x + 3 = 2x - 12

Solution S={-3}

3). x/4 + 2 = 5

Solution S={12}

4). (x - 1)(2x + 3) = 0

Solution S={1; -2/3}